 2023全国乙卷数学文科原卷官方详解
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内容举例： 九、计数原理
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1.两个计数原理
（1）切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．
（2）分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．
（3）确定题目中是否有特殊条件限制．
2.排列与组合
（1）解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，然后利用两个计数原理做最后处理．
（2）解受条件限制的组合题时，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决.分类标准应统一，避免出现重复或遗漏现象．
（3）对于选择题要谨慎处理，注意答案的不同等价形式.处理选择题可采用排除法，错误的答案会有重复或遗漏现象.
3.二项式定理
（1）项的系数与n和a，b的值有关，二项式系数只与n有关，且大于0(n为项数).
（2）求二项式系数的和，可采用“赋值法”．
（3）关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种不同算法．
（4）展开式中第k＋1项的二项式系数与第k＋1项的系数一般是不相同的.在具体求各项的系数时，一般先确定符号，再确定数值；确定符号时对根式和指数的运算要细心，以防出错.
十、概率与统计
易错知识清单
1.随机事件的概率
（1）正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
（2）需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义.
2.古典概型
（1）古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是不是等可能的．
（2）概率的一般加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
提示：①公式的作用是求A∪B的概率，当A∩B＝时，A、B互斥，此时P(A∩B)＝0，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；②要计算P(A∪B)，需要求P(A)、P(B)，更重要的是确定事件A∩B，并求其概率；③该公式可以看作一个方程，知三可求一.
3.几何概型
（1）准确把握几何概型的“测度”是解题关键.
（2）几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.
4.二项分布
（1）运用公式P(AB)=P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A、B相互独立时，公式才成立.
（2）独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等.注意恰好与至多（少）的关系，灵活运用对立事件.
5.离散型随机变量的均值与方差、正态分布
（1）会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．
（2）对于实际应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．
（3）解决正态分布问题有三个关键点:①对称轴x=μ;②标准差σ;③分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ,σ,分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.
6.随机抽样
（1）系统抽样的特点：适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会相等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．
（2）进行分层抽样时应注意以下几点：
①分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠.
②为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同.
7.用样本估计总体
（1）频率分布直方图的纵坐标为 ，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率.
（2）条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误.
8.变量间的相关关系、统计案例
（1）相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．例如正方形面积S与边长x之间的关系S＝x2就是函数关系．相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．例如商品的销售额与广告费是相关关系．两个变量具有相关关系是回归分析的前提．
（2）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义，根据回归方程进行预报，得出的仅是一个预报值，而不是真实发生的值.
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