2023年高考数学试卷全国一卷文科真题解析全国甲卷
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第五章知识点清单
目录
第五章 函数应用
§1 方程解的存在性及方程的近似解
§2 实际问题中的函数模型
第五章 函数应用
§1 方程解的存在性及方程的近似解
一、函数的零点
1. 函数的零点的概念
使得f(x0)=0的数x0称为方程f(x)=0的解，也称为函数f(x)的零点. f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.
2. 方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点.
3. 零点存在定理
若函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)<0，则在开区间(a，b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解.
二、 二分法
对于一般的函数y=f(x)，x∈[a，b]，若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)<0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.
三、用二分法求函数y=f(x)零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤：
1. 确定零点x0的初始区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)<0.
2. 求区间(a，b)的中点c.
3. 计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
(1)若f(c)=0(此时x0=c)，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(c)<0 (此时x0∈(a，c))，则令b=c；
(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a=c.
4. 判断是否达到精确度ε：若|a-b|<ε，则得到零点近似值(可以是[a，b]中的任意一个值)；否则重复步骤2~4.
四、函数零点个数的判断及应用
1. 判断函数零点个数的主要方法
(1)转化为解相应的方程，根据方程解的个数判断零点的个数.
(2)画出函数y=f(x)的图象，判断它与x轴的交点个数，从而判断零点的个数.
(3)借助函数的单调性进行判断. 若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点.
(4)转化成判断两个函数图象的交点个数问题.
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2. 已知函数零点个数求参数范围，为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向：(1)化已知函数为常见的基本初等函数；(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离时，也要使含参数的部分尽可能简单.
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