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内容举例： §3 频率与概率
一、频率的概念
1. 定义：在相同的条件下重复n次试验，观察某事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数m为事件A出现的频数，称m/n为事件A出现的频率.
2. 范围：事件A出现的频率m/n的范围是0≤m/n≤1.
二、概率的统计定义及性质
1. 统计定义：在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率通常会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性. 这时，把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A). 我们通常用频率来估计概率.
2. 性质：事件A的概率P(A)满足0≤P(A)≤1. 当A是必然事件时，P(A)=1；当A是不可能事件时，P(A)=0.
三、用频率估计概率
1. 频率与概率的关系
(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.
(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定.
(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关.
2. 频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出事件A的频率. 频率本身是随机变化的，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率. 因此可以用频率估计概率.
§4 事件的独立性
一、随机事件的独立性
1. 定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件.
2. 概率公式：两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即P(AB)=P(A)P(B).
3. 性质：(1)如果事件A与事件B相互独立，则A与ˉB，ˉA与B， ˉA与ˉB也相互独立.
(2)如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1∩A2∩…∩An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An). 并且此式中任意多个事件Ai(i=1，2，…，n)换成其对立事件ˉA后等式仍成立.
4. “相互独立事件”与“互斥事件”的区别相互独立事件 互斥事件
判断方法 一个事件是否发生对另一个事
件发生的概率没有影响 两个事件不可能同时发生，即A∩B=⌀
概率公式 A与B相互独立等价于P(A∩B)=P(A)·P(B) 若A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)，反之不成立
二、判断事件的独立性
判断两个事件是否相互独立的方法
1. 直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.
2. 定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立，即两个事件同时发生的概率是否等于两个事件发生的概率的乘积.
3. 转化法：由判断事件A与事件B是否相互独立，转化为判断A与 或 与B或 与 是否相互独立.
三、相互独立事件与互斥事件的综合应用
已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论：
事件 表示 概率(A，B互斥) 概率(A，B相互独立)
A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 1-P(ˉA)P(ˉB)或
P(A)+P(B)-P(AB)
A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B)
A，B都不发生 P(ˉA ˉB) 1-[P(A)+P(B)] P(ˉA)P(ˉB)
A，B中恰有一个发生 P(AˉB∪ˉAB) P(A)+P(B) P(A)P(ˉB)+P(ˉA)P(B)
A，B中至多有一个发生 P(ˉA ˉB∪AˉB∪ˉAB) P(A)或P(B) 1-P(A)P(B)
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