 2023年高考数学试题分析与命题趋势全国一卷
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内容举例： §2 导数的概念及其几何意义
一、导数的概念
1. 概念
设函数y=f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为Δy/Δx=(f(x_1)-f(x_0))/(x_1-x_0 )=(f(x_0+Δx)-f(x_0))/Δx.
当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f(x)在点x0的瞬时变化率. 在数学中，称瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0处的导数.
2. 记法：函数y=f(x)在点x0处的导数，通常用符号f'(x0)表示，记作
f'(x0)= lim┬(x_1→x_0 ) (f(x_1)-f(x_0))/(x_1-x_0 )=lim┬(Δx→0) (f(x_0+Δx)-f(x_0))/Δx
二、导数的几何意义
1. 割线与切线的概念
设函数y=f(x)的图象是一条光滑的曲线，且函数y=f(x)在区间[x0，x0+Δx]的平均变化率为Δy/Δx，它是经过A(x0，f(x0))和B(x0+Δx，f(x0+Δx))两点的直线的斜率. 这条直线称为
曲线y=f(x)在点A处的一条割线.
当Δx趋于0时，点B将沿着曲线y=f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动趋于直线l. 称直线l为曲线y=f(x)在点A处的切线，或称直线l和曲线y=f(x)在点A处相切.
2. 导数的几何意义
函数y=f(x)在x0处的导数f'(x0)，是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率. 函数y=
f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.
对应地，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的方程为y-f(x0)= f'(x0)(x-x0).
三、导数概念的理解及应用
1. 导数的概念是高中数学中的重要概念之一，需从以下几个方面加以理解：
(1)函数y=f(x)在点x0处有导数，必须满足两个条件：
①f(x)在x0处及其附近有定义；
②当Δx趋于0时， Δy/Δx的极限存在.
(2)Δx是自变量x的改变量，且Δx≠0；Δy是函数值的改变量，可以为0.
(3)导数概念的变形：
f'(x0)= lim┬(Δx→0) (f(x_0+Δx)-f(x_0))/Δx=lim┬(-Δx→0) (f(x_0)-f(x_0+Δx))/(-Δx)
=lim┬(-Δx→0) (f(x_0-Δx)-f(x_0))/(-Δx)=lim┬(Δx→0) (f(x_0+nΔx)-f(x_0))/nΔx=lim┬(Δx→0) (f(x_0+Δx)-f(x_0-Δx))/2Δx.
注意：Δx与Δy要相互对应，即自变量的改变量与函数值的改变量要相互对应.
2. 求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数值的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；
(2)求平均变化率Δy/Δx=(f(x_0+Δx)-f(x_0))/Δx；
(3)求极限lim┬(Δx→0) Δy/Δx，得导数f'(x0).
四、求曲线的切线方程
如图所示，当点Pn沿着曲线C：y=f(x)无限趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的
位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.
1. 曲线y=f(x)在点P(x0， f(x0))处的切线方程
(1)点(x0， f(x0))为切点；
(2)切线斜率k=f'(x0)；
(3)切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
2. 曲线y=f(x)过点P(x0， f(x0))的切线方程
(1)该点可能是切点，也可能不是切点；
(2)如果点P不是切点，则切线可能不止一条，切线条数与切点个数有关；
(3)求曲线y=f(x)过点P(x0，f(x0))的切线方程的步骤：
①设出切点坐标为(x1， f(x1))；
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