 2023年高考数学压轴题及答案解析全国乙卷
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资料目录
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内容举例： 目录
第二章 导数及其应用
§1 平均变化率与瞬时变化率
§2 导数的概念及其几何意义
§3 导数的计算
§4 导数的四则运算法则
§5 简单复合函数的求导法则
§6 用导数研究函数的性质
§7 导数的应用
第二章 导数及其应用
§1 平均变化率与瞬时变化率
一、平均变化率
1. 概念：对一般的函数y=f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它在区间[x1，x2]的平均变化率=(f(x_2)-f(x_1))/(x_2-x_1 ).
通常我们把自变量的变化x2-x1称作自变量x的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)-f(x1)称作函数值y的改变量，记作Δy. 这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy/Δx=(f(x_2)-f(x_1))/(x_2-x_1 ).
2. 作用：用平均变化率来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.
二、瞬时变化率
1. 概念：对于一般的函数y=f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx=x1-x0，Δy=f(x1)-f(x0)，则该函数的平均变化率为Δy/Δx=(f(x_1)-f(x_0))/(x_1-x_0 )=(f(x_0+Δx)-f(x_0))/Δx. 如果当Δx趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率.
2. 作用：瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢.
三、平均速度与瞬时速度
1. 平均速度：设物体运动的位移s与时间t的关系是s=s(t)，则从t0到t1这段时间内，物体运动的平均速度ˉv=(s(t_1)-s(t_0))/(t_1-t_0 ).
2. 瞬时速度：设物体运动的位移s与时间t的关系是s=s(t)，当Δt趋于0时，函数s(t)在t0到t0+Δt之间的平均变化率ˉv=(s(t_0+Δt)-s(t_0))/Δt趋于一个常数，我们把这个常数称为t0
时刻的瞬时速度.
四、求函数的平均变化率
1. 求函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的三个步骤
(1)求自变量的改变量x2-x1；
(2)求函数值的改变量f(x2)-f(x1)；
(3)求平均变化率(f(x_2)-f(x_1))/(x_2-x_1 ).
2. 点x0附近的平均变化率可用(f(x_0+Δx)-f(x_0))/Δx求得.
五、求函数的瞬时变化率
1. 求函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率的步骤
(1)求函数y=f(x)在点x0附近的平均变化率Δy/Δx=(f(x_0+Δx)-f(x_0))/Δx.
(2)当Δx趋于0时，得出Δy/Δx所趋于的某一常数A，常数A即为函数f(x)在点x0处的瞬时
变化率.
2. Δx趋于0是指自变量的改变量Δx无限接近于0，但始终不为0.
六、实际问题中的平均变化率与瞬时变化率
函数的平均变化率与瞬时变化率在生产生活中有广泛的应用，如平均速度、平均劳动生产率、面积变化率、体积变化率等均为平均变化率在实际生活中的具体应用，而瞬时速度、瞬时线密度等则为瞬时变化率在实际生活中的具体应用.
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