 2023高考数学试卷全国一卷压轴题及答案解析
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内容举例： 8. 2. 2 离散型随机变量的数字特征
一、离散型随机变量的均值
1. 一般地，随机变量X的概率分布如下表所示，
X x1 x2 … xn
概率p p1 p2 … pn
其中pi≥0，i=1，2，…，n，p1+p2+…+pn=1，我们将p1x1+p2x2+…+pnxn称为随机变量X的均值或数学期望，记为E(X)或μ.
2. 离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.
3. 若X与Y都是随机变量，且Y=aX+b(a≠0)，则由X与Y之间概率分布的关系可知
E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.
二、离散型随机变量的方差与标准差
1. 一般地，若离散型随机变量X的概率分布如下表所示，
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
其中，pi≥0，i=1，2，…，n，p1+p2+…+pn=1，则(xi-μ)2(μ=E(X))描述了xi(i=1，2，…，n)相对于均值μ的偏离程度，故(x1-μ)2p1+(x2-μ)2p2+…+(xn-μ)2pn刻画了随机变量X与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差，记为D(X)或σ2，即
D(X)=σ2=(x1-μ)2p1+(x2-μ)2p2+…+(xn-μ)2pn.
2. 随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差，X的方差D(X)的算术平方根称为
X的标准差，即σ=√(D(X)).
3. 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度. 方差或标准差越小，随机变量偏离于均值的平均程度就越小.
4. 若X和Y都是离散型随机变量，且Y=aX+b(a≠0)，则由X和Y之间概率分布和均值的关系可知D(Y)=D(aX+b)=a2D(X).
三、两点分布的均值和方差
1. 随机变量X的概率分布如下表所示.
X 0 1
P 1-p p
则E(X)=p，D(X)=p(1-p)，σ=√(p(1-p)).
四、求离散型随机变量的均值与方差
1. 求离散型随机变量的均值与方差的类型及解决方法
(1)已知概率分布型：直接利用定义求解.
(2)未知概率分布型：求解时可先借助已知条件等求得概率分布，然后利用定义求解.
(3)已知E(X)，D(X)，求E(aX+b)，D(aX+b)型：利用E(aX+b)=aE(X)+b和D(aX+b)=a2D(X)求解.
五、实际生活中的离散型随机变量的数字特征
1. 求实际生活中离散型随机变量X的均值与方差的步
六、数学期望与方差在实际生活中的应用
1. 在实际生活中存在许多决策问题，在确定性现象中，我们决策和优化的目的通常是使损失最小或利益最大.
2. 离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量的取值相对于均值的离散程度(或波动大小). 因此，在利用均值和方差的意义去分析、解决实际问题时，两者都要考虑.
(1)若我们希望实际的平均水平较理想时，则先求随机变量X1，X2的均值，当E(X1)=E(X2)时，不应认为它们一样好，还需要用D(X1)，D(X2)来比较这两个随机变量的偏离程度，偏离程度越小越好.
(2)若我们希望随机变量的取值比较稳定时，则应先考虑方差，再考虑均值是否相等或接近.
8. 2. 3 二项分布
一、二项分布
1. 伯努利试验
我们把只包含两个可能结果的试验叫作伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验
2. 二项分布
若随机变量X的分布列为P(X=k)= C_n^kpkqn-k，其中0<p<1，p+q=1，k=0，1，2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X~B(n，p). 其概率分布如下表所示.
X 0 1 2 … n
P C_n^0p0qn C_n^1pqn-1 C_n^2p2qn-2 … C_n^npnq0
二、二项分布的数学期望与方差
一般地，当X~B(n，p)时，E(X)=np，D(X)=np(1-p)，σ=√(np(1-p)).
三、二项分布的实际应用
1. 利用二项分布模型解决实际问题的一般步骤
(1)根据题意设出随机变量；
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