 2023高考数学试卷及答案全国一卷下载
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资料目录
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内容举例： 目录
第8章 概率
8. 1 条件概率
8. 2 离散型随机变量及其分布列
8. 3 正态分布
第8章 概率
8. 1 条件概率
8. 1. 1 条件概率
一、条件概率
1. 一般地，设A，B为两个事件，P(A)>0，我们称(P(AB))/(P(A))为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，记为P(B|A)，读作“A发生的条件下B发生的概率”，即P(B|A)=(P(AB))/(P(A)) (P(A)>0).
二、概率的乘法公式
1. 由条件概率公式可知P(AB)=P(B|A)·P(A).
说明：假设Ai表示事件，i=1，2，3，且P(Ai)>0，P(A1A2)>0，
则P(A1A2A3)=P(A1)·P(A2|A1)P(A3|A1A2)，其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，而P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同时发生的概率.
三、条件概率的性质
(1)P(Ω|A)=1(Ω为样本空间)；
(2)P(⌀|A)=0；
(3)若B1，B2互斥，则P((B1+B2)|A)=P(B1|A)+P(B2|A).
四、条件概率的计算方法
1. 计算条件概率的方法一般有两种
(1)利用定义计算，先分别计算概率P(AB)和P(A)，然后代入公式P(B|A)= (P(AB))/(P(A))计算.
(2)利用缩小样本空间法计算(局限在古典概型内)，即P(B|A)= (n(AB))/(n(A)).
五、求较复杂事件的概率
1. 当所求事件的概率比较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互斥的较简单的事件，求出这些简单事件的概率，再利用公式便可求得较复杂事件的概率.
2. 求较复杂事件的概率的一般步骤
(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示；
(2)厘清事件之间的关系(两个事件是互斥事件还是对立事件)，列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接计算其对立事件的概
率，再求出符合条件的事件的概率.
六、乘法公式及其应用
1. 乘法公式的特点及注意事项
(1)知二求一：若P(A)>0，P(B)>0，则①已知P(A)，P(B|A)，P(AB)中的两个值就可以求
得第三个值；②已知P(B)，P(A|B)，P(BA)中的两个值就可以求得第三个值.
(2)P(B)与P(B|A)的区别在于两者发生的条件不同，它们是两个不同的概念，在数值
上一般也不同.
8. 1. 2 全概率公式
8. 1. 3 贝叶斯公式*
一、全概率公式
1. 一般地，若事件A1，A2，…，An两两互斥，且它们的和∑_(i=1)^n▒ Ai=Ω，P(Ai)>0，i=1，2，3，…，n，则对于Ω中的任意事件B，有P(B)= ∑_(i=1)^n▒ P(A_i)P(B|A_i). 这个公式称为全概率公式.
二、贝叶斯公式
1. 一般地，若事件A1，A2，…，An两两互斥，且A1∪A2∪…∪An=Ω，P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对于Ω中的任意事件B，P(B)>0，有P(Ai|B)·P(B)=P(B|Ai)P(Ai). 因此P(Ai|B)=
(P(A_i)P(B|A_i))/(P(B)). 再由全概率公式得P(Ai|B)= (P(A_i)P(B|A_i))/(∑_(i=1)^n▒ P(A_i)P(B|A_i)). 这个公式称为贝叶斯公式.
2. 特别地，当0<P(A)<1且P(B)>0时，有P(A|B)= (P(A)P(B|A))/(P(B))=(P(A)P(B|A))/(P(A)P(B|A)+P(ˉA)P(B|ˉA)).
三、全概率公式及其应用
1. 全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一个划分Ω=A1∪A2∪…∪An，A1，A2，…，An两两互斥，将A1，A2，…，
An看成是导致B发生的一组原因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P(B|
A1)，P(B|A2)，…，P(B|An)，再利用全概率公式求解.
2. 运用全概率公式计算事件B发生的概率P(B)时，一般步骤如下：
(1)求划分后的每个小事件的概率，即P(Ai)， i =1，2，…，n；
(2)求每个小事件发生的条件下，事件B发生的概率，即P(B|Ai)， i =1，2，…，n；
(3)利用全概率公式计算P(B)，即P(B)= ∑_(i=1)^n▒ P(A_i)P(B|A_i).
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