 2023高考数学真题及答案完整解析视频版甲卷
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内容举例： 二、用频率估计概率
1. 频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出事件A的
频率. 频率本身是随机变化的，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个
稳定值就是概率.
2. 解此类题目的步骤是先利用频率的计算公式计算出频率，再用频率估计概率.
5. 4 随机事件的独立性
一、事件的相互独立
在概率论中，设A，B为两个事件，若P(A∩B)=P(A)P(B)，则称事件A，B相互独立，简称为独立.
(1)事件A与事件B相互独立，即事件A(或B)是否发生，对事件B(或A)发生的概率没
有影响.
(2)若事件A，B独立，则计算P(A∩B)的公式为P(A∩B)=P(A)P(B).
二、事件相互独立的性质
条件事件A，B独立
结论A与ˉB，ˉA与B， ˉA与ˉB也独立
2. 相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件 互斥事件
条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件
符号 相互独立事件A，B同时发生，
记作：A∩B(或AB) 互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A+B)
计算公式 P(A∩B)=P(A)·P(B) P(A∪B)=P(A)+P
三、判断事件的独立性
判断两个事件是否相互独立的方法
(1)直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.
(2)定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立，即两个事件同时发生的概率是否等于每个事件发生的概率的乘积.
(3)转化法：由判断事件A与事件B是否相互独立，转化为判断A与ˉB或ˉA与B或ˉA与ˉB是否相互独立.
四、利用事件的独立性求复杂事件的概率
由简单事件通过运算得到复杂事件，进而利用互斥、对立、独立等关系计算概率.
解题时要注意
(1)对事件进行分解，一方面分解为互斥的几类简单事件求概率；另一方面分解为独立的几类，利用事件同时发生(乘法)求出概率.
(2)已知两个事件A，B，那么
①A，B中至少有一个发生为事件A+B.
②A，B都发生为事件AB.
③A，B都不发生为事件ˉA ˉB.
④A，B恰有一个发生为事件AˉB+BˉA.
⑤A，B中至多有一个发生为事件AˉB+BˉA+ˉA ˉB.
(3)求较复杂事件的概率的一般步骤
①列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示.
②厘清事件之间的关系(事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式.
③根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.
④当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.
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