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内容举例： 四、概率论中事件的运算性质
1. 概率论中事件的运算性质与集合论中的运算性质是一致的，主要包括：
(1)A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；
(2)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；
(3)(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)，C∩(A∪B)=(C∩A)∪(C∩B)；
(4) ˉ(A∪B)=ˉA∩ˉB， ˉ(A∩B) =ˉA∪ˉB.
五、互斥事件与对立事件的判断
1. 互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生；对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.
2. 判断两个事件是互斥事件还是对立事件可以先对样本点进行逻辑划分，再进行分析.
3. 可以利用Venn图，类比集合的关系进行分析判断.
六、事件的运算
事件间运算的方法
1. 利用事件间运算的定义，列出同一条件下的试验所有可能出现的结果(可以是样本点，也可以是具有相同特点的一些样本点的集合)，分析并利用这些结果进行事件间的运算.
2. 利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，从而进行运算
3. 对复杂事件的研究，通常将复杂事件表示为简单事件的和或积的形式.
5. 2 概率及运算
5. 2. 1 古典概型
一、概率
1. 定义
设试验的样本空间Ω有n个样本点，且每个样本点发生的可能性相同. 当Ω中的事
件A包含了m个样本点时，称P(A)= m/n为事件A发生的概率，简称为A的概率.
2. 概率的基本性质
(1)任何事件的概率在0~1之间，即0≤P(A)≤1.
(2)必然事件包含样本空间Ω中的所有样本点，因而P(Ω)=1.
(3)不可能事件不包含任何样本点，因而P(⌀)=0.
二、古典概型
1. 定义：我们把概率定义描述的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型.
2. 特点
(1)样本空间中只有有限个样本点；
(2)每个样本点出现的可能性相等.
3. 计算公式
P(A)= A中的样本点个数/Ω中的样本点个数.
三、求古典概型的概率
1. 解决古典概型实际问题的步骤
四、古典概型的综合应用
1. 有关古典概型与统计结合的题型，一般利用频率分布表、频率分布直方图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，就能解决此类问题.
2. 有关古典概型与其他数学知识结合的题型，可利用有关数学知识得出限制事件的条件，进而解决概率问题.
5. 2. 2 概率的运算
一、概率的运算
1. 互斥事件的概率加法公式
如果Ω中的事件A，B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B).
推广：如果事件A1，A2，A3，…，An两两互斥，那么事件A1∪A2∪A3∪…∪An发生(是指A1，A2，A3，…，An中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件的概率的和，即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
2. 对立事件的概率公式：如果A是样本空间Ω的事件，则P(ˉA)=1-P(A).
3. 一般概率加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
二、利用概率的运算性质求事件的概率
1. 已知简单事件的概率求复杂事件的概率的一般步骤
(1)事件表示：将已知概率的事件、要求概率的事件用适当的字母表示；
(2)事件运算：将已知概率的事件进行适当运算得到要求概率的事件；
(3)求概率：利用互斥事件、对立事件等的概率公式求相关概率.
5. 3 用频率估计概率
一、频率与概率
1. 设Ω是某个试验的样本空间，A是Ω的事件. 在相同的条件下将该试验独立地重复n次，则称Fn(A)= n次试验中A发生的次数/n是n次独立重复试验中事件A发生的频率.
2. 一般地，如果事件A发生的可能性愈大，频率Fn(A)也愈大；反之，如果Fn(A)愈大，那么可以设想事件A发生的可能性也愈大. 因此，频率与概率间应有紧密的联系.
3. 理论和实践都证明：在相同的条件下，将一试验独立重复n次，若用Fn(A)表示事件A在这n次试验中发生的频率，则当n增加时，Fn(A)将向一个固定的数值p靠近，这个数值p就可看作事件A发生的概率P(A)，即Fn(A)是P(A)的估计.
4. 频率和概率都是随机事件发生可能性大小的定量刻画，但频率与试验次数及具体的试验有关，因此频率具有随机性；而概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，是一个固定的量，不具有随机性，因此频率不能完全反映概率.
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