 2023高考数学甲卷试卷及答案
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内容举例： 1. 排列的定义包含两个过程：(1)取出元素：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素(可分成m步，一步取一个、不放回地取)；(2)按序排列：把这m个不同的元素按照一定的顺序排成一列. 因此，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同.
2. 组合是从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，不论次序地构成一组. 两个
组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同.
二、排列数公式与组合数公式
1. 排列数公式
(1) A_n^m=n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)(常用来求值)；
(2) A_n^m=n!/((n-m)!) (常用来化简或证明).
2. 组合数公式
(1) C_n^m=(A_n^m)/(A_m^m )=(n(n-1)⋅…⋅(n-m+1))/m!；
(2) C_n^m=n!/(m!(n-m)!)；
(3) C_n^m=C_n^(n-m)（反映对称性，当m>n/2时，通常将C_n^m转化为C_n^(n-m)）；
(4) C_(n+1)^m=C_n^m+C_n^(m-1).
三、 与排列数、组合数有关的计算
1. 求解此类问题时要注意对公式的选择与灵活应用.
2. 解有关排列数、组合数的方程或不等式的步骤
四、有限制条件的排列问题
1. “在”与“不在”问题
解决此类问题，常用的方法是特殊位置(元素)分析法，遵循的原则是优先排特殊位置(元素)，即需先满足特殊位置(元素)的要求，再处理其他位置(元素)，如果有两个及以上的约束条件，那么在考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件；当直接求解困难时，可考虑用间接法解题.
2. “相邻”与“不相邻”问题
(1)当元素被要求相邻时，通常采用“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体并与其他元素进行排列.
(2)当元素被要求不相邻时，通常采用“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻元素插在前面元素形成的空中.
3. “定序”问题
在排列问题中，某些元素已排定了顺序，对这些元素进行排列时，不再考虑其顺序. 在具体的计算过程中，可采用“除阶乘法”解决，即n个元素的全排列中有m(m≤n)个元素的顺序固定，则满足题意的排法有(A_n^n)/(A_m^m )种.
五、分组与分配问题
1. 分组问题的求解策略
(1)非均匀不编号分组：将n个不同元素分成m(m≤n)组，每组元素数目均不相等，依
次记为m1，m2，…，mm，不考虑各组间的顺序，不管是否分尽，分法种数N=C_n^(m_1 )·C_(n-m_1)^(m_2 )·
C_(n-(m_1+m_2))^(m_3 )·…·C_(n-(m_1+m_2+⋯+m_(m-1)))^(m_m ).
(2)均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m(m≤n)组，假定其中r组元素个
数相等，不管是否分尽，其分法种数为N/(A_r^r ) (其中N为非均匀不编号分组中的分法种
数). 若再有k组均匀分组，则应再除以A_k^k.
(3)非均匀编号分组：将n个不同元素分成m(m≤n)组，各组元素数目均不相等，且考
虑各组间的顺序，其分法种数为N·A_m^m (其中N为非均匀不编号分组中的分法种数).
(4)均匀编号分组：将n个不同元素分成m(m≤n)组，其中r组元素个数相等且考虑各
组间的顺序，其分法种数为N/(A_r^r )·A_m^m (其中N为非均匀不编号分组中的分法种数).
2. 相同元素分配问题的处理策略
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