 2023年数学高考试卷真题讲解详细答案全国乙卷
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内容举例： 【例五】（2013安徽卷理9）在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满 ,则点集 所表示的区域面积是
(A) (B) (C) (D)
【解析】 ，可以得到 ，且两个向量的夹角为60°，如图可以将两个向量放到半径为2的圆内，如图2。
且由 ，可得 ，
那么当 时，可知P点形成的
区域为图中灰色区域
当 ，将问题转化为
,那么P点
形成的区域则是紫色的区域
当 ，将问题转化为 那么P点形成的区域是红色的区域当 ，将问题转化为那么P点形成的区域是黄色的区域
所以，综上所述可得P点形成的区域为一个长为 ，宽为2的矩形区域，即面积为 ，所以答案选D。
知识点3：
向量的基本要素求解：一般求解向量的基本要素，主要分为求解向量之间的夹角和向量的模长。
那么要求这几个要素必须要明白其可求解的途径：
①求解模长1）如果向量 的坐标 已知（前提是在直角坐标系下的坐标），那么就可以直接选用勾股定理求解 2）如果向量 的坐标不知道，但是 用两个已知的基向量表示出来，并且已知基向量的模长，基向量之间的夹角，那么可以通过对模长平方来求解，比如：已知 且 ，如果 ，则 一般在不知道坐标的情况下都可以进行平方求解。3）可以用公式求解
②夹角求解1）可以用公式求解 2）★★两向量夹角的范围 ，两向量的夹角与三角形中角的类型的判断有着密切的联系：若 ，则该角为锐角 当 时， 若 ，则该角为直角 当 时， 若 ，则该角为钝角 当 ，
知识点4：
1）向量的点积 ，如果向量有坐标， ，则 。
2）向量 在向量 上的投影为 （投影可以是负的），向量在基向量上分解，平行四边形原则。
【例六】如图，设P、Q为△ABC内的两点，且， ， ＝ ＋ ，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为 ．
【解析】本题考查的是向量的平行四边形法则分解，已知 ， ＝ ＋ ，如下图，设 ， ，则 ，由平行四边形法则，知NP∥AB，
所以 ＝ ，同理可得 ，
故 ．
【例七】（2013浙江卷理7）设 是边 上一定点，满足 ，且对于边 上任一点 ，恒有 。则（ ）
A. B. C. D.
【解析】本题考查向量的几何意义，也就是投影。过C点作 ，并且此处记 ,且若P点在HB之间时，记PH为负，P点在AH之间时，PH为正，所以 ，此处的 与上述的 相同，所以
当三角形确定以后，HB就为常数可以定下来，而PH为一个变量，所有把它看成一个函数，可知，当 时， 最小，即此时 点在HB线段的中点，而由条件可知 ，也即此时P点与 点重合，并且 ，可得到 为HB线段的中点，则 ,即 为AB的中点，那么CH为AB的中垂线，那么AC=AB。
★★向量的几何意义考查一般要数形结合，考察起来题目一般难度会比较大，关键在于是否能够转化为几何问题上。
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