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内容举例： 知识点4 列联表独立性检验
（1）分类变量：我们经常用以区别不同的现象或性质的一种特殊的随机变量，称为分类变量。
（2）联列表：我们将如下表这种形式的数据统计表称为2×2列联表。
性别 锻炼 合计不经常（Y=0） 经常（Y=1）
女生（X=0） 192 331 523
男生（X=1） 128 473 601
合计 320 804 1124
（对男女生的锻炼情况的调查表）
知识点5 独立性检验
（1）零假设、原假设：考虑以 Ω 为样本空间的古典概型。设 X 和 Y 为定义在 Ω 上，取值于{0,1} 的成对分类变量．我们希望判断事件 {X=1} 和 {Y=1} 之间是否有关联。注意到{X=0} 和 {X=1} ，{Y=0} 和 {Y=1} 都是互为对立事件，我们需要判断下面的假定关系
H_0:P(Y=1│X=0)=P(Y=1│X=1)
是否成立，通常称 H_0 为零假设或原假设。
（2）小概率值、临界值：假定我们通过简单随机抽样得到了 X 和 Y 的抽样数据列联表，如下表所示：
X Y 合计
Y=0 Y=1
X=0 a b a+b
X=1 c d c+d
合计 a+c b+d a+b+c+d
并有 χ^2=(n(ad-bc)^2)/(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ，其中 n=a+b+c+d
在假定 H_0 的条件下，对于有放回简单随机抽样，当样本容量 n 充分大时，统计学家得到了 χ^2 的近似分布．忽略 χ^2 的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值 α ，可以找到相应的正实数 x_α ，使得下面关系成立：
P(χ^2≥x_α )=α
我们称 x_α 为 α 的临界值，这个临界值就可作为判断 χ^2 大小的标准，概率值 α 越小，临界值 x_α 越大，当总体很大时，抽样有、无放回对 x_α 的分布影响较小。
（3）独立性检验：我们将 H_0 定义为“分类变量 X 和 Y 独立”。
其基于小概率值 α 的检验规则是：
当〖 χ〗^2≥x_α 时，我们就推断 H_0 不成立，即认为 X 和 Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过 α ；
当〖 χ〗^2<x_α 时，我们没有充分证据推断 H_0 不成立，可以认为 X 和 Y 独立。
这种利用〖 χ〗^2 的取值推断分类变量 X 和 Y 是否独立的方法称为〖 χ〗^2 独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验。
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