2023高考数学试卷新高考一卷原卷分析讲解
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内容举例： 四、复数乘除法的几何意义
1. 复数乘法的几何意义
两个复数z1，z2相乘时，如图1，先分别画出与z1，z2对应的向量(OZ_1 ) ⃗， (OZ_2 ) ⃗，然后把向量(OZ_1 ) ⃗绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把(OZ_1 ) ⃗绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量(OZ) ⃗， (OZ) ⃗表示的复数就是积z1z2.
2. 复数除法的几何意义
两个复数z1，z2相除时，如图2，先分别画出与z1，z2对应的向量(OZ_1 ) ⃗， (OZ_2 ) ⃗，然后把向量(OZ_1 ) ⃗绕点O按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把(OZ_1 ) ⃗绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的1/r_2 ，得到向量(OZ) ⃗， (OZ) ⃗表示的复数就是z_1/z_2 .
图1 图2
五、复数的代数表示与三角表示的互化
1. 复数z=r(cos θ+isin θ)的结构特点
(1)r是复数的模，r=√(a^2+b^2 )≥0，其中z=a+bi(a，b∈R)；
(2)式中的三角函数是同一个辐角θ的余弦和正弦；
(3)cos θ在前，sin θ在后；
(4)cos θ和sin θ之间用“+”连接.
2. 复数的代数形式化为三角形式的方法
将复数的代数形式化为三角形式，要从复数三角形式的概念出发，关键是确定两个要素：一是复数的模，二是复数的辐角. 复数z=a+bi(a，b∈R)的模可以直接利用公式r=√(a^2+b^2 )求出；其辐角的求法并不唯一，可以利用cos θ=a/r先求出cos θ，再根据复数的几何意义，由复数对应点的坐标Z(a，b)确定辐角θ的终边所在的象限，进而求出辐角θ；也可以利用sin θ=b/r或tan θ=b/a (a≠0)求出sin θ或tan θ，再由辐角θ的终
边所在的象限，利用“已知三角函数值求角”的方法，求出辐角θ.
六、复数乘、除法的三角形式运算的应用
复数写成三角形式后，乘除法就变成模的乘除法和辐角的加减法.
复数z=r(cos θ+isin θ)的n次方就变成模的n次方和辐角乘n，这种形式的运算为复数的乘除以及乘方运算带来便利.
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