2023高考数学试卷真题及答案评析新课标二卷

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内容举例：

四、复数的模及其几何意义
1. 复数z=a+bi(a，b∈R)的模就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a，b)到坐标原
点的距离，这是复数的模的几何意义. 
2. 满足条件|z|=r(r>0)的点Z的轨迹是以原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内
部，|z|>r表示圆的外部. 
3. (1)设复数z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)在复平面内对应的点分别是Z1(a，b)，Z2(c，d)，则 |(Z_1 Z_2 ) ⃗|=|z1-z2|=√((a-c)^2+(b-d)^2 )，表示复数z1，z2在复平面内对应的点的距离.  
(2)|z-z0|=r(z，z0∈C，r>0)表示复数z在复平面内对应的点的轨迹是以复数z0对应的点
为圆心，r为半径的圆. 
(3)|z-z1|=|z-z2|表示以复数z1，z2的对应点Z1，Z2为端点的线段的垂直平分线. 
五、复数加减法的几何意义的应用
1. 利用复数加减运算的几何意义解题的常用技巧
(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形有关的问题转化成复数的运算进行解题；
(2)数转化为形：对于一些复数运算给予几何解释，将复数作为工具运用于几何之中. 
2. 利用复数的几何意义解题的常见结论
在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1+z2对应的点为C，O为坐标原点(点O，A，B不共线). 
(1)四边形OACB为平行四边形；
(2)若|z1+z2|=|z1-z2|，则四边形OACB为矩形；
(3)若|z1|=|z2|，则四边形OACB为菱形；
(4)若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|，则四边形OACB为正方形. 
3. 4　复数的三角表示
一、i2=-1的几何意义及旋转任意角
1. 虚数单位i乘任意复数z的几何意义是：将复数z对应的平面向量旋转90°. 
2. 用cos α+isin α乘任意复数z，其几何意义是：将复数z对应的平面向量旋转角α. 
二、复数的三角表示
1. 辐角
以原点O为顶点，x轴的正半轴为始边，复数z=a+bi(a，b∈R)对应的向量(OP) ⃗所在的
射线为终边的角θ，称为复数z=a+bi的辐角，记作arg z=θ. 
2. 复数z=a+bi(a，b∈R)的三角形式：z=r(cos θ+isin θ)，其中r=√(a^2+b^2 )，cos θ=a/r，sin θ=b/r. 
如果z=0，则|z|=0，辅角θ可以取任意值，对每个值仍有z=r(cos θ+isin θ). 
两个复数z1=|z1|(cos θ1+isin θ1)，z2=|z2|(cos θ2+isin θ2)相等的充分必要条件是
|z1|=|z2|=0，或|z1|=|z2|>0且θ2=θ1+2kπ，k∈Z. 
三、复数三角形式的运算
1. 设z1=r1(cos θ1+isin θ1)，z2=r2(cos θ2+isin θ2)，则z1·z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；
z_1/z_2 =(r_1 (〖cos⁡θ〗_1+i〖sin⁡θ〗_1))/(r_2 (〖cos⁡θ〗_2+i〖sin⁡θ〗_2))=r_1/r_2  [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)](z2≠0). 
这就是说，两个复数乘积的模等于它们的模的乘积，乘积的辐角等于它们的辐角之和；两个复数相除(除数不为0)，商的模等于它们的模的商，商的辐角等于它们的辐角之差. 
推广：[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ)，其中n∈N+.